Kuantum destek vektör makinesi — özellik haritası ve kuantum çekirdek

Kuantum destek vektör makinesi (QSVM), gözetimli öğrenmede — özellikle ikili (veya çok sınıflı) sınıflandırma — kullanılan bir hibrit yöntemdir: verilen etiketli örneklerden, yeni bir noktanın hangi tarafa düşeceğini tahmin etmek için bir ayırıcı yüzey (margin düşüncesinde hiperdüzlem) aranır. Klasik destek vektör makinesinde olduğu gibi bu yüzey doğrudan ham özellik uzayında zorlanmak zorunda değildir; veri önce bir çekirdek üzerinden “benzerlik” diline çevrilir. QSVM’nin ayırt edici fikri şudur: bu benzerlikleri, seçilen bir kuantum özellik haritasıyla üretilen durumların örtüşümünden okumak — böylece bazı veri yapılarında klasik çekirdeklerden daha zengin bir geometri kurulabilir (her veri kümesinde garanti değildir).

Zihinsel model basittir: her klasik örnek x, bir kuantum devresinde durum |ψ(x)⟩’ye kodlanır; iki örnek “ne kadar yakın?” sorusunun cevabı çekirdek K_ij ile özetlenir. Bu matris hazır olunca karar eşiği, destek vektörleri ve marj hesabı klasik SVM kurallarıyla yürür — yani öğrenilen şey “tek bir kuantum ölçümünden gelen etiket” değil, çekirdek üzerinden tanımlanan bir sınırlayıcıdır. Sonuç olarak QSVM, “tek şotta sınıf okuyan sihirli kuantum sınıflandırıcı” değil; tekrarlı devre çalıştırması veya simülasyonla doldurulan bir Gram tablosu üzerinde çalışan ölçüm ve klasik optimizasyon karışımıdır.

Bu çerçeve regresyon veya başka çekirdekli modellere uzatılabilir; bu sayfada düğüm noktası sınıflandırmadır. İlgiyi canlı tutmak için şunu ekleyelim: QSVM’nin pratik değeri, veri boyutu, özellik haritası derinliği, örnek sayısı ve donanım gürültüsüyle birlikte gelir — “kuantum olduğu için her zaman daha iyi” iddiası değil, uygun kodlama ve bütçeyle anlamlı bir çekirdek ailesi seçilip seçilemeyeceği meselesidir (ayrıntılar ilerleyen bölümlerde; burada sadece beklenti düzeyini ayarlıyoruz).

Destek vektör makinesi, doğrusal olarak ayrılabilir görünen bir problemde — iki sınıf için düşünün — veriyi bölen ve mümkün olduğunca geniş bir marj bırakan bir hiperdüzlem arar; marj daraldıkça yeni örneklere karşı duyarlılık artar. Özellik uzayındaki noktalar doğrusal olarak üst üste geliyorsa, bu düzlemi doğrudan orijinal koordinatlarda çizmek mümkün olmayabilir. İşte bu yüzden veriyi önce bir özellik gömme φ(x) ile daha yüksek (hatta sonsuz boyutlu) bir uzaya taşımak düşünülür; ayırıcı yüzey bu uzayda doğrusal kalır. Sorun şu ki, çoğu uygulamada φ’nin bileşenlerini tek tek yazmak ya da saklamak fiilen imkânsızdır — burada devreye çekirdek tuzağından çıkış girer.

Çekirdek tuzağı şunu söyler: SVM’nin ihtiyaç duyduğu tek şey, gömülü uzayda iç çarpımlar olduğu sürece açık φ formülü gerekmeyebilir. Bunun yerine her çift örnek için bir skaler tanımlarsınız: k(x, x′) = ⟨φ(x), φ(x′)⟩. Karar fonksiyonu ve eğitim (dual problemde) yalnızca bu skalerlerin oluşturduğu Gram matrisi K üzerinden yazılabilir — böylece boyutu kontrol edilemez şekilde şişiren açık özellik vektörlerini hiç materyalize etmezsiniz. Bu “tuzağı” iyi kullanmak için k’nin geçerli bir çekirdeğe karşılık gelmesi gerekir; pratikte bu, K’nin (teorik olarak) pozitif yarı tanımlı olması beklentisiyle özetlenir. QSVM’ye gelince: aynı arayüz korunur; fark, bu skalerlerin klasik bir formül yerine kuantum durumlarından türetilmesidir — tam sayı tanımı ve örnekler 4 · Kuantum çekirdek ve Gram matrisi bölümünde.

Klasik tarafta çekirdek seçimi (RBF, polinom, …) deneyim ve doğrulama ile gider; kuantum çekirdeklerinde ise devre derinliği, örnek sayısı ve gürültü, K’yi “kusursuz PSD” yerine tahmini bir matris haline getirir — bu yüzden cezalı (düzenlenmiş) SVM varyantları ve sağlam doğrulama özellikle önemlidir; bunları burada derinlemesine işlemiyoruz ama beklenti olarak not düşüyoruz. Özellik haritasının kendisi (U(x), hangi kapılar, hangi kübit sayısı) tamamen ayrı bir tasarım kararıdır ve 3 · Kuantum özellik haritası bölümünde ele alınır; burada klasik çekirdek mantığıyla bağlantıyı kurmuş oluyoruz.

• Neden SVM?

  Marjı büyütme hedefi ve dual formülasyon, çekirdek matrisi elinizdeyken eğitimi şeffaf kılar: destek vektörleri, Lagrange çarpanları ve karar sınırı hep K üzerinden okunur. QSVM literatürünün SVM’yi seçmesi çoğu zaman bu modülerlik yüzündendir — çekirdek değişince “iç” optimizasyon aynı kalır.

• Boyut ve ölçek

  n örnek için tam Gram matrisi O(n²) çift üzerinden çekirdek değerlendirmesi ister. Kuantum donanımında bu, ölçüm bütçesi anlamında “pahalı”dır — finansal maliyet değil, tekrarlı devre çalıştırması. Örnekleme ile yaklaşılan çekirdeklerde varyans da eklenir.

• Bu bölümün çizgisi

  Burada φ ve k klasik makine öğrenmesi dilinde kaldı; hangi kuantum devresinin hangi k’ye karşılık geldiği bir sonraki iki bölümün konusu. Böylece §1’deki “hibrit” çerçeve ile çelişmeden, QSVM’nin hangi parçasının klasik kaldığını netleştirmiş olursunuz.

Klasik çekirdek düşüncesinde veriyi soyut bir φ(x) uzayına gömerdiniz; kuantum özellik haritasında ise somut bir ünite devre U(x) seçilir ve standart başlangıç durumu — çoğu örnekte tüm kübitlerde |0⟩ — bu devreden geçirilir: |ψ(x)⟩ = U(x)|0⟩. Böylece her klasik örnek, Hilbert uzayında bir normalize saf durum ile temsil edilir; “benzerlik” sorusuna giden kapı aralığı burada açılır. Parametrelerin x ile nasıl bağlandığı tamamen tasarım meselesidir: doğrudan bileşenlerden açı üretmek, ölçekleyip öteleme veya başka bir kodlama — önemli olan, eğitim boyunca aynı ailenin tutarlı kullanılmasıdır; aksi halde çekirdek matrisi tutarsız kalır. Hangi skalerlerin çekirdek girdisi sayılacağı 4 · Kuantum çekirdek ve Gram matrisi bölümünde; burada devrenin rolünü netleştiriyoruz.

Kütüphanelerdeki hazır haritalar — örneğin Qiskit’teki ZZFeatureMap — tipik olarak süperpozisyon (çoğu zaman H ile), veriye bağlı faz kapıları ve dolaşım ile ardışık “katmanlar” kurar; amaç, basit bir döndürmeden fazlasını üretmek: kübitler arası etkileşim, özellik uzayında doğrusal olmayan örüntülere izin verir. reps (aynı blok yapısını kaç kez yığdığınız) arttıkça devre uzunluğu ve dolayısıyla hem ifade gücü hem de donanımda birikmiş hata riski artar — burada tek doğru rakam yoktur; küçük veri ve simülatörde düşük reps ile başlamak, sonra derinliği izlemek yaygın bir pratik çizgidir. Somut kapı sırasını sayfadaki 8 · Aynı devre (iki temsil) ve 9 · Devre ve doğrulama şemalarında görürsünüz; kodda ise 6 · Qiskit kod örneği ile aynı örneğe bağlıyız.

Boyut ve kübit sayısı aynı şey değildir: klasik özellik boyutu d ile feature_dimension (veya eşdeğeri) uyumlu olmalıdır; kübit sayısı ise kodlama ve harita ailesine göre seçilir — fazla az kübit bilgi sıkıştırır, fazla çok kübit ise gereksiz derinlik ve gürültü getirir. Bu sayfadaki örnek d = 2, reps = 1 ve lineer dolaşımla bilinçli olarak küçük tutulmuştur; gerçek projede harita seçimi, doğrulama eğrileri ve donanım bağlantısıyla birlikte değerlendirilir.

• Neden ünite?

  U(x) ünite olduğu sürece başlangıç normalize ise çıkış da normalize kalır; iç çarpımların yorumu kolaylaşır. Ölçüm eklenirse hikâye farklılaşır — bu sayfa özellik haritasını ölçümsüz çekirdek hesabına odaklar.

• §2 ile sınır

  Önceki bölümde çekirdeğin Gram matrisi üzerinden tanımlandığını gördük; burada ise o matrisin kuantum tarafındaki ilk üretim adımı var: durumları hazırlayan U(x). Formül tekrarından kaçınıyoruz.

§2 · Klasik SVM ve çekirdek tuzağı’nda çekirdeğin işi, örnek çiftlerine bir skaler benzerlik vermekti; burada o skalerin kuantum kaynaklı örneğini yazıyoruz. Özellik haritası U(x) (3 · Kuantum özellik haritası) ile her klasik örnek bir duruma gider: |ψ_k⟩ := U(x_k)|0⟩ — kısaca aynı kuantum kaydı üzerinde iki ket |ψ_i⟩, |ψ_j⟩ düşünün. Dirac notasyonunda ⟨ψ_i|ψ_j⟩, bu iki ket’in Hilbert iç çarpımıdır; genelde karmaşık bir sayıdır (ℂ). QSVM yazılışlarında çekirdek girdisi sıklıkla K_ij = |⟨ψ_i|ψ_j⟩|² alınır: içteki ⟨ψ_i|ψ_j⟩ örtüşme; tek çizgi |·| karmaşık sayının modülü (uzunluk); üst simge 2 ise modülün karesidir — sonuç reel ve ≥ 0. Saf, normalize durumlarda K_ij ∈ [0, 1] aralığına düşer (fidelity ile uyumlu okuma). Klasik k(x, x′) = ⟨φ(x), φ(x′)⟩ reelken ara örtüşme karmaşık olabileceğinden, tek reel çekirdek skaleri üretmek için modül karesi sık seçilir; başka tanımlar (ör. yalnızca Re(⟨ψ_i|ψ_j⟩)) kullanılırsa eğitim öncesi bunu sabitlemeniz gerekir.

Gram matrisi K, tüm çiftler (i, j) için K_ij değerlerinden oluşur; n örnekte boyut n × n. Klasik teoride geçerli bir çekirdekte K pozitif yarı tanımlıdır; ölçüm veya gürültülü tahminle gelen K ise küçük sapmalar taşıyabilir — cezalı (düzenlenmiş) SVM veya spektral düzeltmeler bazen devreye girer (ayrıntı bu sayfanın kapsamı dışında). Önemli: her K_ij bağımsız bir niceliktir; bütün model tek ölçümde oluşmaz (5 · Hibrit boru hattı).

Hesaplama yüzeyi: İdeal simülatörde Statevector ile ⟨ψ_i|ψ_j⟩ doğrudan hesaplanır (6 · Qiskit kod örneği). Donanımda benzer skaler çoğu zaman çoklu ölçümün ortalamasıyla yaklaşılır; gürültü ve derinlik Gram matrisinin koşulluluğunu bozabilir.

Hibrit derken parçayı ikiye ayırmak gerekir: kuantum tarafı, seçilen özellik haritasıyla örnek çiftleri için çekirdek girdilerini — §4 · Kuantum çekirdek ve Gram matrisi’ndeki K_ij skalerlerini — üretir; klasik taraf ise bu tabloyu girdi kabul eden SVM’nin dual kurulumunu çözer, marjı ve destek vektör yapısını belirler, yeni bir örneğin hangi yarı uzaya düştüğünü karar fonksiyonuyla okur. Kuantum makine öğrenmesi burada “etiketi ölçümle basan tek blok” değildir; çekirdek fabrikası ile karar mekanizması farklı katmanlardır.

Tipik eğitim akışı şu sırayı takip eder — tam çekirdek matrisi kurulumunda: eğitim kümesindeki her (i, j) çifti için K_ij hesaplanır (Maliyet O(n²) çift çağrı; pratikte alt örnekleme veya yaklaşık yöntemler devreye girebilir). Ardından dual SVM, Lagrange çarpanları (çoğu yazılışta α) ile birlikte optimum ayrımı arar. Tahmin aşamasında yeni bir örnek için gerekenler, eğitilmiş modele göre ya tam Gram yerine “yeni nokta–destek vektörleri” arası çekirdek değerleri ya da eşdeğer bir karar ifadesidir — yine de kuantum çekirdek kullanılıyorsa bu iç çarpımlar da devre veya simülasyon ister. Özet: öğrenme döngüsünün klasik optimizasyon kısmı şeffaftır; “hangi skalerin geldiği” kuantumdan gelir (6 · Qiskit kod örneği yalnızca tek bir K_ij hücresini gösterir).

Neden böyle parçalanır? Çünkü destek vektör makinesinin teorisi ve yazılım ekosistemi klasik çekirdekler üzerine kuruludur; QSVM bu yüzden genelde “kuantum çekirdek + klasik SVM” bileşkesidir. Tüm modeli tek kuantum geçişinde öğrenmek şart değildir ve çoğu kurulumda mümkün de değildir — §1 · QSVM nedir?’deki beklentiyle uyumludur.

NISQ gerçekçiliği: Özellik haritası derinliği arttıkça kapı hatası birikir; ölçümle yaklaşılan K gürültülü olunca ayırıcı yüzey sapar. Üretimde hata azaltma, bağlantıya uygun transpile ve gerektiğinde sığ harita seçimi birlikte düşünülür. Bu sayfada hedef bir üstünlük kanıtı yazmak değil; boru hattında hangi işin nerede yapıldığını doğru adlandırmaktır.

Aşağıdaki örnek, ZZFeatureMap ile iki örnek arasında tek bir çekirdek girdisi üretir: durumlar Statevector ile simüle edilir (ideal, shotsız). Devrenin metin çıktısını görmek için decompose() kullanıyoruz — Qiskit’in üst seviye çizimi bazen haritayı tek blokta toplar.

from qiskit.circuit.library import ZZFeatureMap
from qiskit.quantum_info import Statevector


def quantum_kernel_entry(x_i, x_j, feature_map: ZZFeatureMap) -> float:
    """Saf durum örtüşmesinden K_ij = |⟨ψ_i|ψ_j⟩|² (|0⟩ başlangıcı, normalize)."""
    qc_i = feature_map.assign_parameters(x_i)
    qc_j = feature_map.assign_parameters(x_j)
    psi_i = Statevector.from_instruction(qc_i)
    psi_j = Statevector.from_instruction(qc_j)
    overlap = psi_i.inner(psi_j)
    return abs(overlap) ** 2


fm = ZZFeatureMap(feature_dimension=2, reps=1, entanglement="linear")
print(fm.assign_parameters([0.4, 0.7]).decompose())

x_a = [0.1, 0.2]
x_b = [0.4, 0.7]
print("K_ij ≈", quantum_kernel_entry(x_a, x_b, fm))

İskeletin rolü

Yukarıdaki editör, çekirdek matrisinin tek bir hücresini nasıl ürettiğinizi sabitler: özellik haritası ile iki durum, ardından iç çarpım. Tam QSVM eğitimi için aynı fonksiyonu tüm çift listesinde çağırıp sonra bir SVM çözücüye iletmeniz gerekir. Matematiksel çerçeve için 4 · Kuantum çekirdek ve Gram matrisi, boru hattı için 5 · Hibrit boru hattı bölümlerine bakın; örnek kod 6 · Qiskit kod örneği ile doğrudan bağlantılıdır; şemalar 8 · Aynı devre (iki temsil) ve 9 · Devre ve doğrulama ile birlikte düşünülmüştür.

ZZFeatureMap(...)

Kütüphane nesnesi, veri boyutu (feature_dimension), tekrar (reps) ve dolaşım şemasını kilitler; bunlar çekirdek ailesini tanımlar. Aynı haritayı tüm örneklerde paylaşmak, iç çarpımların tutarlı bir Hilbert uzayında kalmasını sağlar — farklı haritalar karıştırılırsa K anlamsızlaşır.

feature_map.assign_parameters(x)

Parametre vektörü klasik örneği kodlar; dönüş, ölçüm içermeyen bir devredir (pure state). Boyut uyuşmazlığı burada yakalanır: yanlış uzunlukta liste hem klasik hem kuantum tarafta sessizce beklenmedik davranış üretebilir.

Statevector.from_instruction(...)

İdeal simülasyonda tam durum genlikleri bilinir; iç çarpım kapalı formdadır. Donanımda aynı nicelikler örnek istatistiğiyle yaklaşılır — bu yüzden üretim kodunda bu satırların yerini Estimator / shots / hata azaltma dolgusu alabilir.

psi_i.inner(psi_j)

Karmaşık sayı döner; QSVM çekirdeği için mutlak kare alınır. Alternatif tanımlar (ör. yalnızca gerçel kısım) kullanırsanız, eğitimden önce çekirdek matrisinin hâlâ pozitif yarı tanımlı yaklaşımına uyduğunu doğrulamalısınız — aksi halde dual SVM varsayımları zayıflar.

decompose() ve print

Metin şemada kapıları görmek için üst modülü açar; Qiskit sürümüne göre faz açıları sayısal görünür. Bu çıktı çekirdekten bağımsızdır ama haritanın gerçekten beklediğiniz etkileşimi içerdiğini insan gözüyle doğrulamanıza yarar.

Soldaki panel, editördeki örnekle aynı devrenin print(qc.decompose()) çıktısıdır — kütüphane sürümünüze göre boşluklar küçük oynayabilir; kapı sırası ve fazlar aynı kalır. Sağdaki SVG, bu metin şemasının aynı mantıksal devreyi (H, P, iki kez CX, arada q1 üzerinde P(13.39…)) okunaklı şema olarak çizer; üst düzey çizim tek kutuda ZZFeatureMap olarak da görünebilir. Düzen, Grover · iki temsil ile aynıdır.

     ┌───┐┌────────┐                       
q_0: ┤ H ├┤ P(0.8) ├──■─────────────────■──
     ├───┤├────────┤┌─┴─┐┌───────────┐┌─┴─┐
q_1: ┤ H ├┤ P(1.4) ├┤ X ├┤ P(13.388) ├┤ X ├
     └───┘└────────┘└───┘└───────────┘└───┘

Aşağıdaki çerçevedeki şema, 8 · Aynı devre (iki temsil) bölümündeki sağ paneldeki SVG ile aynı çizimdir (yalnızca linearGradient kimliği sayfa içi çakışmayı önlemek için farklı adla tanımlanır). Soldaki terminal çıktısıyla yine aynı mantıksal sıra: H — P — iki CX — arada yalnızca q1 üzerinde faz; ölçüm yok (durum Statevector ile çekirdek için okunur). Hibrit boru hattı (Gram + SVM) için 5 · Hibrit boru hattı bölümüne bakın. Çerçeve düzeni QFT · Devre ve doğrulama ile uyumludur.

Aşağıdaki okuma reçetesi QSVM özellik haritasına özeldir: üst kısımdaki kodda ZZFeatureMap(feature_dimension=2, reps=1, entanglement="linear") ve assign_parameters([0.4, 0.7]) ile üretilen decompose() çıktısının şemada nasıl renklendirildiğini izlersiniz — QAOA maliyet–karıştırıcı veya QFT merdiveni ile karıştırılacak genel bir şema metni değildir.

Şemayı adım adım oku

1. 1

   Soldaki mor H kutuları her iki kübitte süperpozisyon hazırlar; özellik haritası klasik vektörü kuantum durumuna gömmeden önce tipik olarak bu tabanı kurar. Terminal satırında da önce ┤ H ├ görülür.

2. 2

   İndigo P faz kapıları veri kodlamasıdır: örnekteki 0.8 ve 1.4 etiketleri, bu çizimin sabitlendiği x = [0.4, 0.7] vektöründen gelir (Qiskit ZZFeatureMap içindeki ölçek ve sıra, haritanın teknik tanımına bağlıdır). Parametreler optimizasyon nesnesi değildir; her örnek için klasik özellik vektörü ile bağlanır.

3. 3

   İlk turuncu CX (CX₀→₁) doğrusal dolaşım katmanıdır: kontrol üst kübitte, hedef altta; iki hattaki fazların karışması için köprü görevi görür — çekirdek tanımında iç içe geçmiş durumlar bu tür bloklarla oluşur.

4. 4

   q1 üzerindeki büyük açılı P ve ikinci CX, aynı haritanın devamıdır; ZZFeatureMap’in üst seviye kutusu tek blokta gizleyebildiği etkileşimleri burada satır satır görürsünüz. Sağ uçtaki bilgi kutusu ölçüm kapısı olmadığını ve çekirdek için durum okumasını hatırlatır: kodda Statevector.from_instruction ile saf durum okunur; klasik SVM adımı bu şemanın dışında, Gram matrisi üzerinden çalışır.

Geniş çerçeve ve ikili gösterim

Yukarıdaki dört adım 8 · Aynı devre (iki temsil) içindeki kompakt SVG ile aynı mantıksal kapı sırasını taşır; bu bölümdeki çerçeve yalnızca sunumu büyütür — üst şerit, kesik hazırlık çizgisi, sağ bilgi kutusu ve alt iki satırlık üretim notu yeni kapı eklemez. Gradyan kimliği (qsvm-devre-g vs qsvm-dual-g) sayfa içi SVG çakışmasını önlemek içindir.

Örnek bütçesi: Donanımda her K_ij için tekrarlı ölçüm gerekir; simülatörde ise boyut üssel bellek tüketir. Küçük veri kümelerinde QSVM eğitilebilir; büyük n için çekirdek yaklaşımı yerine özellik seçimi, alt örnekleme veya tamamen farklı kuantum model mimarileri düşünülür.

qiskit-machine-learning paketi ileri düzeyde hazır çekirdek + SVM birleşimleri sunabilir; bu sayfa bağımlılık katmanını büyütmeden çekirdek tanımını şeffaf tutmayı seçer. Ortamınıza göre paketi ekleyip üretim API’lerine geçebilirsiniz.