Bell durumu — maksimum dolanıklık için iki kapılık reçete

Bell durumları, iki kübitlik bir sistemde oluşturulabilen maksimum düzeyde dolanık dört farklı kuantum durumunu temsil eder. Burada “maksimum dolanıklık” şu anlama gelir: Bir kübit üzerinde yapılan ölçüm, diğer kübitin durumu hakkında — aradaki mesafe ne olursa olsun — anında %100 kesin bilgi verir.

Bu durumlar, iki kübitlik Hilbert uzayında bir ortonormal baz oluşturur. Klasik fizikte bir sistemin durumu parçaların durumlarının toplamıyken; Bell durumlarında bütün hakkında bilgimiz tamdır ancak parçalar (tekil kübitler) hakkında belirsizlik maksimumdur.

Matematiksel olarak bu durumlar $\ket{\beta_{xy}}$ şeklinde gösterilir; alttaki dört durum iki kübitlik uzayda standart, dik ve maksimum dolanık bir bazdır. Formüller göz korkutabilir — her birinin altında “bu bize ne söylüyor?” mealini okuyarak hem gösterimi hem sezgiyi birlikte tutabilirsiniz.

Katsayı $\tfrac{1}{\sqrt{2}}$ Buradaki $\sqrt{2}$, durumun normalize olmasını sağlar: olasılıkların toplamı 1 çıkar. Kareleri alındığında $\bigl(\tfrac{1}{\sqrt{2}}\bigr)^2 = \tfrac{1}{2}$ olduğundan, $\ket{00}$ ve $\ket{11}$ (veya ilgili baz çiftleri) için ölçüm olasılıkları matematiksel olarak %50–%50 olur.

• Φ⁺ · simetrik aynı

  $$\ket{\Phi^+} = \tfrac{1}{\sqrt{2}}\bigl(\ket{00} + \ket{11}\bigr)$$

  Meal: Artı işareti, $\ket{00}$ ile $\ket{11}$ terimlerinin aynı fazda toplandığını gösterir — yapıcı girişim. Ölçümde iki kübitin aynı bit değerini verme olasılıkları eşittir; bu iki yol birbirini güçlendirir.

  İki kübit her zaman aynı sonucu verir: 00 ya da 11.

• Φ⁻ · faz işaretli aynı

  $$\ket{\Phi^-} = \tfrac{1}{\sqrt{2}}\bigl(\ket{00} - \ket{11}\bigr)$$

  Meal: Eksi işareti, tek tek ölçüm sonuçlarının dağılımını (yine hep aynı çıkar) değiştirmez; fakat $\ket{11}$ dalının göreli fazını çevirir. Bu fark, kuantum girişim deneylerinde — özellikle faz duyarlı devrelerde — kritik rol oynar.

  Sonuçlar yine aynıdır; ancak 11 dalı bir faz farkı taşır.

• Ψ⁺ · simetrik zıt

  $$\ket{\Psi^+} = \tfrac{1}{\sqrt{2}}\bigl(\ket{01} + \ket{10}\bigr)$$

  İki kübit her zaman zıt sonucu verir: 01 ya da 10.

• Ψ⁻ · singlet (anti-simetrik)

  $$\ket{\Psi^-} = \tfrac{1}{\sqrt{2}}\bigl(\ket{01} - \ket{10}\bigr)$$

  Sonuçlar zıttır ve durum anti-simetriktir; rotasyon altında değişmez kaldığı için “singlet” olarak da anılır.

Bir Bell durumu oluşturmak için standart bir “reçete” uygulanır. En yaygın olan |Φ⁺⟩ durumunu üretmek için yalnızca iki temel kapı yeterlidir.

1. H

   Hadamard kapısı H

   İlk kübiti süperpozisyona alır: kübit artık hem |0⟩ hem de |1⟩ durumundadır. Sistem $\tfrac{1}{\sqrt{2}}\bigl(\ket{0} + \ket{1}\bigr)\otimes\ket{0}$ haline gelir.

2. ⊕

   Controlled-NOT CNOT

   İlk kübit kontrol, ikinci kübit hedeftir. Kontrol |1⟩ ise hedef ters çevrilir; aksi hâlde dokunulmaz. Sonuç doğrudan $\tfrac{1}{\sqrt{2}}\bigl(\ket{00} + \ket{11}\bigr) = \ket{\Phi^+}$.

Kapı kapı durum evrimi

Hadamard ile CNOT arasındaki adım, okuyucunun zihninde netleştiğinde “sihir” yerini cebire bırakır. Aşağıda tam durum vektörü her kapıdan sonra nasıl güncelleniyor?

• Başlangıç

  İki kübit de $\ket{0}$: sistem $\ket{00}$ ile başlar (yani $\ket{0}_{q_0} \otimes \ket{0}_{q_1}$).

• Hadamard sonrası ($q_0$)

  Yalnızca ilk kübite $H$ uygulanır; ikinci kübit hâlâ $\ket{0}$:

  $$\tfrac{1}{\sqrt{2}}\bigl(\ket{0}+\ket{1}\bigr)\otimes\ket{0} = \tfrac{1}{\sqrt{2}}\bigl(\ket{00}+\ket{10}\bigr)$$

  İlk kübit artık klasik anlamda “0 veya 1” etiketli değildir; ikinci kübit ise henüz dokunulmamıştır.

• CNOT sonrası ($q_0$ kontrol, $q_1$ hedef)

  Kontrol $\ket{1}$ iken hedef çevrilir: $\ket{10}$ terimi $\ket{11}$ olur, $\ket{00}$ olduğu gibi kalır. Sonuç:

  $$\tfrac{1}{\sqrt{2}}\bigl(\ket{00}+\ket{11}\bigr) = \ket{\Phi^+}$$

Bu iki işlemden sonra kübitler artık bağımsız iki varlık değildir; tek bir sistem olarak davranırlar. Tekil ölçüm istatistikleri rastgele görünse de çift ölçüm her zaman tutarlıdır.

Diğer üç durumu nasıl elde ederiz?

Aynı reçeteye Hadamard'dan önce/sonra X ya da Z eklemek yeterlidir: X hedef kübiti çevirir ve |Ψ⁺⟩'e geçer; Z ilk kübitin fazını çevirir ve |Φ⁻⟩'i verir; ikisi birden uygulandığında |Ψ⁻⟩'e ulaşılır.

Aşağıdaki örnek tek dosyada Bell durumunu kurar, ölçer ve histogramı yazdırır. Devre H ve CNOT ile dolanıklığı oluşturur; ardından AerSimulator üzerinde 1024 atış çalıştırılır.

import numpy as np
from qiskit import QuantumCircuit
from qiskit_aer import AerSimulator
from qiskit.visualization import plot_histogram

# 1. Kuantum Devresini Oluşturma
# 2 Kübit ve 2 Klasik bit (ölçüm sonuçları için) içeren devre
qc = QuantumCircuit(2, 2)

# 2. Algoritma Adımları
# Adım 1: İlk kübiti (q0) süperpozisyona sok
qc.h(0)

# Adım 2: q0 kontrolünde q1'e CNOT uygula (Dolanıklık oluşturma)
qc.cx(0, 1)

# 3. Ölçüm
# Kübitlerdeki veriyi klasik bitlere aktar
qc.measure([0, 1], [0, 1])

# 4. Devreyi Çalıştırma
simulator = AerSimulator()
job = simulator.run(qc, shots=1024)
result = job.result()

# 5. Sonuçları Almak
counts = result.get_counts(qc)
print("\nÖlçüm Sonuçları (00 ve 11 beklenir):")
print(counts)

# Devre Şemasını Çizdirme (Opsiyonel)
# print(qc.draw())

Kod analizi · satır satır

Importlar QuantumCircuit, devre nesnesini taşıyan ana sınıftır; AerSimulator ise yerel makinemizde gürültüsüz bir kuantum bilgisayarı taklit eder. numpy bu örnekte doğrudan kullanılmasa da Qiskit ekosistemi neredeyse her durumda diziler ve olasılıklarla çalıştığı için alışkanlık olarak en üste konur. Histogram çizimi isterseniz plot_histogram da hazır bekler — ama terminalde sayıları görmek için onu çağırmak zorunda değiliz.

qc = QuantumCircuit(2, 2) Bu satır "iki kübitlik bir kuantum kayıt + iki klasik bitlik bir not defteri" diyor. Kübitler hesaplamayı yapacak; klasik bitler ise ölçüm sonuçlarının düşeceği yer. Ölçmediğiniz sürece klasik bitler boş kalır, devreyi yeniden çalıştırdığınızda sıfırlanır. İndeksleme her zaman 0'dan başlar (q0, q1).

qc.h(0) — Hadamard q0 başlangıçta |0⟩ durumundadır; Hadamard onu (|0⟩ + |1⟩)/√2 süperpozisyonuna sokar. Yani q0 artık "yarı 0, yarı 1" gibi davranır. Ölçseydik 0 ve 1'i ~%50 görürdük; fakat şu anda ölçmüyoruz, sadece kuantum durumunu kuruyoruz. Bu, devrenin "yakıtı"dır.

qc.cx(0, 1) — CNOT Birinci argüman kontrol (q0), ikincisi hedef (q1). Klasik mantıkta "q0 = 1 ise q1'i ters çevir" demektir; ama q0 burada hem 0 hem 1 durumunda olduğu için CNOT iki olasılığı birden bağlar. Sonuç: kübitler artık ayrı ayrı tanımlanamaz, tek bir dolanık sistem oluşur. Tam olarak şu duruma vardık: |Φ⁺⟩ = (|00⟩ + |11⟩)/√2.

qc.measure([0, 1], [0, 1]) Ölçüm kuantum durumunu klasik bir bilgiye dönüştürür ve süperpozisyonu yıkar (collapse). Listenin ilk argümanı hangi kübitin ölçüleceğini, ikincisi sonucun hangi klasik bite yazılacağını söyler. Ölçümü kasıtlı olarak en sona koyduk: önce dolanıklığı kurup sonra okumak gerekiyor, tersi olsa istatistik çıkmaz.

simulator.run(qc, shots=1024) shots aynı devreyi kaç kez çalıştırıp ölçeceğimizdir; kuantum sonuçları olasılıksal olduğundan bir tek atışın anlamı yoktur, histogram çıkarmamız gerekir. 1024 makul bir başlangıç: hem hızlı, hem de ~%3 hassasiyetle olasılıkları görmeye yeter. Donanımda parayı/zamanı arttıracaksanız önce burayı büyütmek gelir.

result.get_counts(qc) Bize {"00": ~512, "11": ~512} gibi bir sözlük döndürür. Anahtar, klasik bitlerin Qiskit konvansiyonuna göre tersten okunmuş halidir (en sağdaki bit c0); ama Bell devresi simetrik olduğu için bu detayı bu örnekte fark etmezsiniz. 01 veya 10 görüyorsanız ya devre sırası bozulmuştur ya da donanım gürültülüdür.

Çalıştırma için tek bir Python ortamında qiskit ve qiskit-aer paketlerinin kurulu olması yeterlidir; kurulumun tek bakışta özeti ana sayfadaki IDE ve çalıştırma bölümündedir. Gerçek donanımda denemek isterseniz AerSimulator() satırını QiskitRuntimeService().backend("ibm_brisbane") gibi bir IBM cihazıyla değiştirmek; geri kalan akış aynıdır.

Aşağıdaki şema iki kübitlik en yalın Bell devresidir: birinci kübite Hadamard, ardından iki kübit arasına CNOT, son olarak iki klasik kayıtla ölçüm.

• Beklenen sonuç

  Yeterli atışta histogram yalnızca 00 ve 11 sonuçlarını ~%50 ile gösterir; gürültüsüz bir simülatörde diğer iki sonuç sıfırdır.

• Pratik not

  Donanımda dekoherens nedeniyle 01 ve 10 küçük oranlarda görünebilir; bu fark “dolanıklık tanığı” olarak kalibrasyon kalitesini ölçer.

• Alternatif bazlar

  İki kübiti ölçmeden önce her birine bir Hadamard daha uygulamak, ölçümü X tabanı'na çevirir; korelasyon yine korunur, bu CHSH testinde kullanılan farklı tabanların temelidir.

• İletişim mi?

  Dolanıklık tek başına bilgi taşımaz; klasik bir kanal olmadan mesaj iletilemez. Bu yüzden teleportasyon ve süper yoğun kodlama protokolleri Bell çiftine ek olarak klasik bitleri de gerektirir.