Kuantum Faz Tahmini (QPE)

QPE, bir üniter operatörün $U$ özvektörü $|\psi\rangle$ verildiğinde, ilgili özdeğerin fazını $\theta \in [0,1)$ bulma problemidir:

Klasik dünyada büyük bir matrisin özdeğer/özvektör yapısını çıkarmak, boyut arttıkça hızla zorlaşır (çoğu durumda üstel maliyet). QPE ise kuantum paralelliğini kullanarak fazı, seçtiğiniz hassasiyet seviyesine göre polinom zamanda tahmin edebilir.

QPE devresi iki ayrı register arasında hassas bir köprü kurar. Üst register fazı “ölçmek” için hazırlanır; alt register ise $U$’nun özvektörünü taşır.

• Hassasiyet register’ı (counting)

  Üstteki $t$ kübit, fazı hangi çözünürlükte okuyacağımızı belirler. Kübit sayısı arttıkça, $\theta$ ikili kesir olarak daha çok basamakla yakalanır.

• Özvektör register’ı (state)

  Alttaki kübit(ler), $U$ operatörünün özvektörünü $|\psi\rangle$ taşır. Bu örnekte tek kübitlik $|\psi\rangle = |1\rangle$ hazırlıyoruz.

Üstteki her kübit, alttaki register üzerine $U$ operatörünü artan kuvvetlerde kontrollü uygular: $U^{2^0}, U^{2^1}, U^{2^2}, \ldots$. Bu tasarım “ikili sayı sistemi” mantığıyla fazın basamaklarını üst register’a kodlar.

Aşağıdaki örnekte $U$’yu, tek kübitlik bir kontrollü faz kapısı (cp(angle)) ile temsil ediyoruz. Hedef faz olarak $\theta=1/8$ seçilirse, 3 bit hassasiyetle beklenen çıktı 001 (ikili) civarında yoğunlaşır.

import numpy as np
from qiskit import QuantumCircuit
from qiskit_aer import AerSimulator
from qiskit.circuit.library import QFT

def qpe_circuit(precision, angle):
    # Toplam: precision (t) + 1 (state)
    qc = QuantumCircuit(precision + 1, precision)
    
    # 1. State Register Hazırlığı: Özvektörü |1> yapıyoruz
    qc.x(precision)
    
    # 2. Precision Register Hazırlığı: Hadamard katmanı
    qc.h(range(precision))
    qc.barrier()
    
    # 3. Kontrollü-U Uygulaması (Gizli fazı içeren kapı)
    repetitions = 1
    for counting_qubit in range(precision):
        for i in range(repetitions):
            # Buradaki cp(angle) gizli fazımızı temsil eder
            qc.cp(angle, counting_qubit, precision)
        repetitions *= 2
    qc.barrier()
    
    # 4. Ters QFT (IQFT): Fazı bitlere dönüştür
    qc.append(QFT(precision).inverse(), range(precision))
    
    # 5. Ölçüm
    qc.measure(range(precision), range(precision))
    return qc

# 1/8 fazını tahmin edelim (Beklenen sonuç: 001 binary)
target_angle = 2 * np.pi * (1/8)
qc = qpe_circuit(3, target_angle)

# Simülasyon
simulator = AerSimulator()
counts = simulator.run(qc, shots=1024).result().get_counts()
print(f"Tahmin Edilen Faz (Binary): {counts}")

Düzen · hangi register neyi yapıyor?

Devrede toplam precision + 1 kübit var. İlk precision kübit “counting” (ölçülecek bitler), son kübit ise “state” register. Kodda bu son kübiti qc.x(precision) ile |1⟩ yapıyoruz.

Kontrollü‑U tekrarları · neden 1,2,4…?

repetitions değişkeni her counting kübiti için ikiye katlanır. Bu, $U^{2^k}$ uygulamakla aynı etkiye sahiptir. Böylece faz, üst register’a ikili basamaklar şeklinde “katman katman” yazılır.

Burada küçük bir matematiksel resim var: eğer $U|\psi\rangle = e^{2\pi i \theta}|\psi\rangle$ ise, $U^{2^k}|\psi\rangle = e^{2\pi i (2^k\theta)}|\psi\rangle$. Yani “kuvvet” büyüdükçe faz da $2^k$ ile büyür; bu büyümeyi IQFT, bit basamaklarına çözer.

Kontrol–hedef yönü · cp(angle) hangi fazı ekliyor?

Qiskit’te qc.cp(angle, control, target), yalnızca control=1 ve target=1 iken faz ekler. Bizim devrede “target” olarak state kübiti var ve onu |1⟩’e hazırlıyoruz. Böylece counting kübiti 1 olduğunda, state üzerinden faz birikir ve phase kickback ile counting fazı değişir.

IQFT · fazı bite çeviren adım

Kontrollü‑$U$ katmanından sonra counting register faz bilgisini taşır ama hâlâ “faz uzayı” temsilindedir. QFT(precision).inverse() (IQFT) bunu ölçülebilir bit dizisine dönüştürür.

Bit sırası (endianness) · “001” neyi temsil ediyor?

Ölçüm çıktısındaki bit dizisinin yorumlanması, framework’teki bit sıralamasıyla ilgilidir. Qiskit’te get_counts() anahtarları çoğu zaman “klasik bit dizisini” string olarak verir; bu string’in hangi bitinin p0 / p1 / p2’ye denk geldiğini, measure(q, c) eşlemesi belirler. Bu sayfada measure(range(precision), range(precision)) ile bire bir eşledik; bu yüzden baskın desenin “001” civarında olması, $\theta=1/8$ için beklediğimiz ikili kesirle uyumludur.

Aşağıdaki şema, 3 bit hassasiyetli QPE iskeletini gösterir: üstte Hadamard katmanı, ortada kontrollü $U^{2^k}$ blokları ve sonda IQFT. Blokların üzerindeki $2^0,2^1,2^2$ etiketleri, “ikili basamak” mantığını görünür kılar.

Şemayı adım adım oku

1. 1

   Counting register’ı süperpozisyona al

   Üstteki $t$ kübite Hadamard uygula. Bu, fazı yazacağımız “boş sayfa”yı açar.

2. 2

   Kontrollü $U^{2^k}$ katmanını uygula

   Her üst kübit, alttaki $|\psi\rangle$ üzerine $U$’yu artan kuvvetlerde uygular. Faz bilgisi phase kickback ile üst register’a kodlanır.

3. 3

   IQFT ile fazı bite çevir

   Counting register faz uzayındadır; IQFT, bunu ölçümle okunabilir ikili sayıya çevirir.

4. 4

   Ölç ve en olası bit desenini oku

   Ölçüm sonucundaki baskın bit dizisi, $\theta$’nın ikili kesir tahminidir. $\theta$ tam ikili kesir değilse dağılım “komşu” değerlere yayılır.

• Faz geri tepmesi (phase kickback)

  Kontrollü‑$U$ uygulandığında alt register özvektör olarak kalır; fakat faz, kontrol kübitinin fazına yazılır. QPE’nin “ölçemediğini ölçer gibi” yapmasının ana nedeni budur.

• Hassasiyet vs. hata

  $\theta$ her zaman $2^{-t}$ biçiminde olmayabilir. Bu durumda ölçümde tek bir bit dizisi yerine en yakın değerlere yayılan bir dağılım görürsünüz. Her ek precision kübiti çözünürlüğü artırır, dağılımı daraltır.

• Shor’a köprü

  Shor algoritmasının periyot bulma kısmı, QPE mekanizmasının modüler aritmetik operatörüne uygulanmış halidir. Bu yüzden QPE, “periyot teması”nın merkezinde durur.

• Görsel tasarım ipucu

  Şemada kontrollü‑$U$ bloklarının üstüne $2^0, 2^1, 2^2$ yazmak, algoritmanın ikili sayı sistemiyle nasıl çalıştığını tek bakışta hissettirir.