Schmidt ayrıştırması — iki parçalı saf durumu ortonormal çiftler ve gerçek katsayılarla tek indeksli toplama açmak

Schmidt ayrıştırması, iki parçalı saf bir ketin tensör yapısını şeffaf hale getirir: hangi ortonormal yönlerde “eşleşmiş” olduğu ve bu eşleşmenin gücü katsayılarla ölçülür. Bu, dolanıklığın sayısal okunmasında (kaç terim, hangi olasılık dağılımı) doğrudan bir araçtır; ancak yalnızca A|B ikili bölünmesi için tam bir Schmidt formu vardır.

Kısmi iz ile farklı rol

Kısmi iz marjinal yoğunluğu üretir; Schmidt ise aynı saf ketten yola çıkarak aynı marjinalin spektrumunu doğrudan katsayıların kareleri olarak okumanızı sağlar. İkisi birbirinin yerine geçmez: biri lineer cebirsel indirgeme, diğeri tensör geometrisinin bir temsilidir.

Bu sayfada ele alınmayanlar

Yoğunluk aksiyomları ve Aer bellek/yürütümü ilgili sayfalarda kalır. Ölçüm sonrası klasik dağılım ve POVM katmanı ölçüm teorisi ile ölçüm mantığı başlıklarındadır; burada ölçüm kurgusu yalnızca “yerel bazda marjinal okuma” düzeyinde anılır.

Her saf |ψ⟩_{AB} ∈ H_A ⊗ H_B için, boyutları sırasıyla d_A ve d_B olan uzaylarda ortonormal aileler {|u_k⟩}, {|v_k⟩} ve gerçek λ_k ≥ 0 vardır öyle ki |ψ⟩ = Σ_k λ_k |u_k⟩|v_k⟩ yazılabilir. Katsayılar tekildir (çoğulluk hariç); vektör çiftleri özdeğer çakışması olduğunda dönmeye açıktır, fakat {λ_k²} kümesi sabittir.

Genlik ve faz

Schmidt formu, her iki bacakta da fazları |u_k⟩ ve |v_k⟩ içine emerek global fazyı sadeleştirir; önemli olan genlikler λ_k ve ortogonallik yapısıdır. Bu nedenle iki farklı kütüphane aynı λ_k değerlerini verirken vektörleri farklı ama eşdeğer dönmelerle döndürebilir.

Ürün durumları

Eğer |ψ⟩ tam bir tensör ürünü ise, yalnızca tek bir λ_1 = 1 terimi kalır; Schmidt sırası bir olur ve marjinal yoğunluklar saf projektördür. Bu, dolanıklığın “genişletilmiş” bir ölçütü olan Schmidt sırasının alt sınırını verir.

Pozitif λ_k sayısı Schmidt sırasıdır ve dolanıklık genişliğinin temel bir özetidir: sıra 1 ürün, sıra 2 ve üzeri dolanıklık imkânı taşır. Her iki marjinal yoğunluk ρ_A, ρ_B için özdeğer kümesi (sıfırlar hariç) özdeştir; Schmidt katsayılarının kareleri tam olarak bu ortak spektrumdur.

Kısmi iz ile hesap doğrulama

Pratikte ρ_A = Tr_B |ψ⟩⟨ψ| ifadesi kısmi iz ile üretilir; ardından özdeğerler alınır. Schmidt çıktısı, aynı bilgiyi tensör uzayındaki doğal bazda sunar; kod laboratuvarında iki yol yan yana doğrulanır.

Operatör beklentileri

Yerel gözlemlenebilirler için beklenen değerler yine marjinal üzerinden okunur; Pauli cebiri ve iz kuralları operatör ve Pauli sayfalarında tutarlıdır. Schmidt ayrıştırması bu beklentileri hesaplamanın zorunlu yolu değildir, fakat spektrumu görünür kılar.

Normalize saf durumda Σ_k λ_k² = 1 olduğundan, p_k = λ_k² bir olasılık dağılımı tanımlar. Alt sistem von Neumann entropisi S(ρ_A) tam olarak bu dağılımın Shannon entropisi ile özdeş olur (taban seçimine bağlı olarak bit veya nat). Tanım zinciri ve çoklu özellikler entropi başlığında genişletilir; burada Schmidt köprüsü vurgulanır.

Dolanıklık entropisi

İki parçalı saf durum için dolanıklık entropisi S(ρ_A) ile özdeş kabul edilir; karışık bileşik durumlarda aynı sayı genel dolanıklık ölçütü olmaktan çıkar. Bu ayrım, aşağıdaki saf olmayan sınır bölümünde netleşir.

Rényi ailesi

{p_k} üzerinden tanımlanan Rényi entropileri, Schmidt spektrumunun alternatif özetleridir; detay ve API yine entropi sayfasında toplanır.

qiskit.quantum_info.schmidt_decomposition(state, qargs) saf bir Statevector veya saf bir DensityMatrix alır ve (λ_k, |u_k⟩, |v_k⟩) üçlüleri listeler. İkinci argüman qargs, B alt sistemine düşen kübit konumlarının listesidir; kalan kübitler A tarafını oluşturur. Liste sırası sonucu değiştirmez; küçük endian kübit numaralandırması Statevector sayfasıyla uyumlu düşünülmelidir.

Çıktıların yorumu

Dönen Statevector nesneleri, sırasıyla A ve B alt uzaylarında normalize edilmiştir; katsayılar gerçek ve pozitiftir. Terim sayısı en fazla min(d_A, d_B) olabilir.

Hata durumu

Girdi karışık ve saf değilse kütüphane hata verir; bu durumda spektral bilgi yine marjinal yoğunluk üzerinden okunur, fakat ortonormal çift baz temsilinin aynı biçimi yoktur.

Schmidt ayrıştırması klasik anlamda iki parçalı saf durumlara mahsustur. Üç veya daha fazla alt sistemde tek bir “Schmidt biçimi” yoktur; tensör tren ayrıştırmaları veya seçilmiş ikili kesitler üzerinden analiz gerekir. Bu site dizisinde çok adımlı izler ve boyut stratejisi kısmi iz başlığında kalır.

Karışık bileşik yoğunluk

Genel bir ρ_{AB} için ortonormal çiftlerle tek indeksli gerçek katsayılı aynı yapı her zaman yoktur; marjinal spektrumlar da özdeş olmayabilir. Dolanıklık ölçümleri bu durumda farklı tanımlar (negatiflik, mutual information vb.) gerektirir ve bu sayfanın kapsamının dışındadır.

Simülasyon notu

Büyük registerlerde yoğunluk matrisinin tamamını üretmek pahalı olabilir; Schmidt hesabı da boyutla birlikte maliyetlidir. Ölçek ve bellek sınırı yoğunluk simülasyonu sayfasında ele alınır; burada küçük boyutlu doğrulama örnekleri hedeflenir.

Örnekler qiskit.quantum_info içinden çalışır; Aer veya devre transpile adımı yoktur. numpy, özdeğer karşılaştırması için kullanılır (Qiskit kurulumunun tipik bağımlılığıdır).

from qiskit import QuantumCircuit
from qiskit.quantum_info import Statevector, schmidt_decomposition

qc = QuantumCircuit(2)
qc.h(0)
qc.cx(0, 1)
sv = Statevector(qc)

# qargs: B alt sistemine düşen kübitler (ör. yalnız kübit 1)
for lam, ua, ub in schmidt_decomposition(sv, [1]):
    print("lambda:", lam, "-> prob:", lam**2)

from qiskit.quantum_info import Statevector, schmidt_decomposition

sv = Statevector.from_label("00")
pairs = schmidt_decomposition(sv, [1])
print("terim sayisi (Schmidt sirasi):", len(pairs))
print(pairs[0][0], "-> tek terim beklenir")

import numpy as np
from qiskit import QuantumCircuit
from qiskit.quantum_info import DensityMatrix, partial_trace, Statevector, schmidt_decomposition

qc = QuantumCircuit(2)
qc.h(0)
qc.cx(0, 1)
sv = Statevector(qc)

schmidt_p = sorted((p[0] ** 2 for p in schmidt_decomposition(sv, [1])), reverse=True)
rho_a = partial_trace(DensityMatrix(sv), [1])
eigs = np.sort(np.real(np.linalg.eigvalsh(rho_a.data)))[::-1]
print("Schmidt lambda^2:", schmidt_p)
print("rho_A ozdegerleri (numpy eigvalsh):", list(eigs))

Schmidt ayrıştırması, iki parçalı saf durumların spektral özetini görünür kılar; marjinal yoğunluk ve kısmi iz bu özetin operasyonel yüzüdür. Karışık ve çok parçalı genişlemeler için farklı çerçeveler gerekir.

• Kısmi iz — Tr_B, indeksler ve iteratif iz.
• Entropi — von Neumann ve Rényi; Schmidt olasılıklarıyla bağ.
• Yoğunluk matrisi — saf ve karışık temel.
• Statevector — küçük endian ve vektör API.