Kuantum kapıları — üniter işlem ve devre cebiri

Bir kuantum kapısı, n kübitlik durum uzayı (ℂ²)^{⊗n} üzerinde tanımlı, norm koruyan doğrusal bir operatördür. Cebirsel olarak üniterdir; geometrik olarak iç çarpımı, dolayısıyla ortogonalliği ve olasılık genliklerini bozmadan durumu başka bir duruma taşır. Ölçüm haricindeki her devre adımı — yerel rotasyonlar, kontrollü kapılar, faz adımları, dolanıklık üretici çiftler — bu üniter çerçevenin içinde yaşar.

Üniter operatörün biçimsel tanımı

U, üniterdir, ancak ve ancak

U†U = UU† = I

sağlanıyorsa. Burada U† eşlenik transpozdur (Hermitik eşlenik). Bu eşitlik üç pratik sonucu birlikte taşır: (i) U tersinirdir ve tersi U⁻¹ = U†’dır; (ii) U sütunları (ve satırları) ortonormaldir; (iii) her durum vektörü için ‖U|ψ⟩‖ = ‖|ψ⟩‖ — yani normalize bir ket, kapıdan geçince yine normalize kalır. Olasılıkları bağlayan normalize koşul bu sayede her ara adımda korunur.

Tersinirlik ve klasik kapılardan farkı

Klasik dijital tasarımdaki birçok kapı tersinmezdir: ikili AND, NAND, OR kapısı iki bit girdi alıp tek bit üretir; çıktıdan girdiyi geri okumak mümkün değildir. Kuantum üniterlik buna izin vermez: girdinin bilgisi her zaman çıktıda saklıdır; U uygulanmış bir devreden tek bir ek adım (U†) ile geri sarılabilir. Bu “bilgi koruyan” yapı doğrudan no-cloning ve no-deleting teoremleri ile akrabadır: rastgele bir kuantum durumunu kopyalamayan ya da geri silmeyen üniter bir işlem yoktur.

Klasik bir mantığı kuantum devresine taşımak istediğinizde tersinir biçime gömmeniz gerekir; bunun standart yolu oracle formudur:

U_f : |x⟩|y⟩ ↦ |x⟩|y ⊕ f(x)⟩

burada f : {0,1}ⁿ → {0,1} klasik fonksiyonu, ayrı bir “çıktı” kübitine XOR ile basılır; girdi |x⟩ bozulmaz, tüm dönüşüm üniter kalır. Bu yapı Deutsch–Jozsa, Grover ve faz tahmininde sürekli karşımıza çıkar.

Hermitik gözlem, üniter evrim ve generator

Operatörler kuantumda iki ayrı rolde görünür ve bunların karıştırılmaması gerekir: Hermitik bir operatör (H† = H) bir gözlemlenebiliri temsil eder; özdeğerleri ölçüm sonuçlarıdır. Üniter bir operatör ise zaman içinde durumu götüren evrimdir; kapılarımız tam olarak budur.

İki rol arasındaki köprü generator yapısıdır: her üniter U, bir Hermitik H ile

U = exp(−i H t)

biçiminde yazılabilir (Schrödinger evrimi ℏ = 1 birimiyle). Tek kübit eksen dönüşleri için bu generator doğrudan Pauli operatörüdür ve Pauli–rotasyon bölümünde geçen R_j(θ) = exp(−i θ σ_j / 2) ifadesi, generator yapısının özel halidir. Pauli matrisleri hem üniter hem Hermitiktir; bu yüzden hem kapı hem gözlem olarak görünebilirler — bu istisnai bir özelliktir, genel bir kural değildir.

Çarpım, tensör ve devre temsili

Bir devrede iki ana birleşim vardır: (1) aynı tel üzerinde ardışık kapılar matris çarpımıdır, (2) farklı tellerdeki paralel kapılar tensör çarpımıdır.

|ψ_{son}⟩ = (U_k ⋯ U_2 U_1) |ψ_0⟩, U_{paralel} = U_A ⊗ U_B

Devre çizimini matrise çevirirken çarpım sırasına dikkat etmek gerekir: en sondaki kapı, matris çarpımında en sola yazılır. Kütüphane geleneklerine göre kübit numaralandırması ve tensör sırası farklılaşabilir (örneğin Qiskit little-endian: |q_{n-1} … q_1 q_0⟩), bu yüzden sayısal karşılaştırmada bir permütasyon beklenir; geometri ve devre yapısı değişmez.

Üniter olmayan tek istisna: ölçüm

Hesabın geri kalanı tamamen üniterken ölçüm doğrusal değildir; sonucun olasılığı Born kuralıyla verilir ve sonra durum ilgili projeksiyona normalize edilir. Devre tasarımında “ne zaman ve hangi tabanda ölçeceğiz” sorusu, üniter kısmı belirleyen yapı taşıdır: ölçümden önceki son kapı, klasik sonucu yorumlamak için tabanı seçer (örneğin Hadamard, ekvator tabanını Z tabanına döndürür).

Tek kübitlik bir kapı, 2×2 üniter matristir; tüm kümesi U(2) grubudur. Global fazı düşürdüğümüzde geriye SU(2) kalır, bu da Bloch küresinde dönüşlere karşılık gelir. Bu bölüm, kapı isimleri ile matris–etki–devre sembolü üçlüsünü birbirine kilitler: her kapı için tanım, hesaplama tabanındaki etkisi ve yaygın özdeşlikleri verilir.

Kimlik ve Pauli kapıları (X, Y, Z)

Kimlik I = |0⟩⟨0| + |1⟩⟨1| hiçbir şey yapmaz; devrede çoğu zaman zamanlama veya hizalama için bilinçli yerleştirilir. Pauli kapıları, hesaplama tabanındaki dış çarpım yazılışıyla:

X = |0⟩⟨1| + |1⟩⟨0|, Y = −i|0⟩⟨1| + i|1⟩⟨0|, Z = |0⟩⟨0| − |1⟩⟨1|.

Temel etkileri: X|0⟩ = |1⟩, X|1⟩ = |0⟩ — klasik NOT’un kuantum karşılığı. Z|0⟩ = |0⟩, Z|1⟩ = −|1⟩ — sadece |1⟩’in fazını π kaydırır. Y bunların karışımı gibidir: Y = i X Z.

Üç Pauli operatörü hem Hermitik hem üniterdir; X² = Y² = Z² = I, kendi kendilerinin tersi, özdeğerleri ±1. Aralarındaki çarpım kuralı (kısa cebir):

XY = iZ, YZ = iX, ZX = iY; {σ_i, σ_j} = 2δ_{ij}I, [σ_i, σ_j] = 2i ε_{ijk} σ_k.

Hadamard H — taban değiştirici

Hadamard, Z tabanı ile X tabanı arasında köprüdür. Yazılışı:

H = (X + Z) / √2 = (|0⟩⟨0| + |0⟩⟨1| + |1⟩⟨0| − |1⟩⟨1|)/√2.

Hesaplama tabanındaki etkisi: H|0⟩ = (|0⟩ + |1⟩)/√2 = |+⟩, H|1⟩ = (|0⟩ − |1⟩)/√2 = |−⟩. Hadamard kendi kendisinin tersidir, yani H² = I; ayrıca H hem Hermitik hem üniterdir. Geometride Bloch küresinde (x + z)/√2 ekseninde π dönüşüdür; bu açıdan |0⟩’ı ekvatora taşır. Pratikte süperpozisyon üretmenin standart yolu H ile başlamaktır: Grover’ın ilk satırı, Deutsch–Jozsa’nın hazırlığı, QFT’nin ilk adımı hep bu kapıdan başlar.

Faz kapıları: S, T ve eşlenikleri

S ve T kapıları yalnızca |1⟩’e faz uygular:

S = |0⟩⟨0| + i|1⟩⟨1|, T = |0⟩⟨0| + e^{iπ/4}|1⟩⟨1|.

S kapısı π/2 faz kaydırır; T ise π/4 faz kaydırır. Önemli özdeşlikler:

S² = Z, T² = S, T⁸ = I; S† = S³, T† = T⁷.

Hadamard’ın aksine S ve T Hermitik değildir (S† ≠ S); bu yüzden tersleri ayrı bir kapı simgesiyle yazılır (S†, T† — bazı kütüphanelerde Sdg, Tdg).

Genel faz kapısı P(φ) ve global vs göreli faz

S ve T, sürekli faz ailesinin özel adımlarıdır:

P(φ) = |0⟩⟨0| + e^{iφ}|1⟩⟨1|.

Bu kapı yalnızca |1⟩’in fazını φ kadar oynatır; |0⟩’a dokunmaz. Bu yapı R_z(φ) ile bir global faz farkıyla özdeştir: P(φ) = e^{iφ/2} R_z(φ). Algoritmalarda önemli olan göreli fazdır; global faz e^{iα}I ölçümde düşer. Devrede tek kübitlik bir P(φ) görülmesi büyük olasılıkla |+⟩, |−⟩ üzerinde girişimi kalibre etmek içindir.

Sürekli eksen dönüşleri: R_x, R_y, R_z

Bloch sayfasında genel tanım verildi: R_j(θ) = exp(−i θ σ_j/2) = cos(θ/2) I − i sin(θ/2) σ_j. Hesaplama tabanındaki açık etkileri:

R_x(θ)|0⟩ = cos(θ/2)|0⟩ − i sin(θ/2)|1⟩, R_y(θ)|0⟩ = cos(θ/2)|0⟩ + sin(θ/2)|1⟩, R_z(θ)|0⟩ = e^{−iθ/2}|0⟩.

θ/2 seçimi geometriktir: küre üzerinde tam tur θ = 2π iken kette −1 fazı bırakır (çift örtü). Pratikte R_y(θ) gerçek değerli katsayılar üretir ve varyasyonel devrelerin kovaryans bloklarında en sık görülen kapıdır; R_z(φ) ise QFT, kontrollü-faz ve oracle mimarisinin ana yapı taşıdır.

Kök kapılar ve özel açılar

“Karekök kapılar” bir Pauli kapısının yarım gücüne karşılık gelir:

√X = SX = (1+i)/2 · I + (1−i)/2 · X, √Y = SY, √Z = S.

SX (Qiskit notasyonunda yaygın isim) bazı süperiletken donanımlarda native kapıdır: SX²= X, fakat tek başına π/2 x-rotasyonudur (küresel faza kadar). θ = π/2 ve θ = π seçimleri pratikte yaygın özel durumlardır.

Evrensel tek kübit parametreleştirme U(θ, φ, λ)

Her tek kübit üniter bir küresel faz seçimi içinde üç parametreyle yazılabilir; Qiskit’in eski stil kapısı bu üç açıyı doğrudan ortaya koyar:

U(θ, φ, λ) = R_z(φ) R_y(θ) R_z(λ) (küresel faza kadar).

Bu ifade aynı zamanda ZYZ ayrışımının standart biçimidir (aşağıda daha ayrıntılı). Tek kübit donanım kapılarını kalibre etmek bu üç açının ne kadar hassas üretilebildiğine bakar; transpilasyon adımları ise herhangi bir kullanıcı kapısını bu forma indirger.

Tek kübit kapı kartoteksi

Bu bölümün özeti — atlas niteliğinde tek satırda kapı, açık biçim, hesaplama tabanı etkisi ve sık başvurulan özdeşliği:

Tek kübit kapıları yerel rotasyonlarla durumu yeniden konumlandırır, fakat dolanıklık üretmek ve koşullu mantık kurmak için çok kübitli kapılar gerekir. Bu bölümde merkezi yapı taşı olan kontrollü kapı deseni, ikili etkileşim kapıları (CNOT, CZ, SWAP, iSWAP) ve üç gövdeli Toffoli / Fredkin kapıları toplanır.

Kontrollü kapı genel deseni

Kontrol kübitinin değeri |0⟩ ise hedefe hiçbir şey uygulanmaz; |1⟩ ise hedefte U çalışır. Cebirsel olarak:

C(U) = |0⟩⟨0| ⊗ I + |1⟩⟨1| ⊗ U.

Tek bir özel kapı değildir; desendir. Hedefteki U yerine sırasıyla X, Y, Z, H, S, P(φ) koyarak yaygın ailenin tamamı türetilir.

CNOT (CX) — dolanıklığın motoru

En kritik iki kübit kapısı kontrollü-X’tir: CNOT = |0⟩⟨0| ⊗ I + |1⟩⟨1| ⊗ X. Hesaplama tabanı etkisi:

|00⟩ ↦ |00⟩, |01⟩ ↦ |01⟩, |10⟩ ↦ |11⟩, |11⟩ ↦ |10⟩.

Yani kontrolün değeri hedefe XOR ile yazılır: |c, t⟩ ↦ |c, t ⊕ c⟩. CNOT, dolanık çiftler üretmenin standart yoludur: CNOT (H ⊗ I) |00⟩ = (|00⟩ + |11⟩)/√2 — bu, ileride kullanılacak Bell durumudur. Donanımda kapı süresi ve hatası tek kübit kapılarına göre belirgin biçimde yüksektir; algoritmaları derlerken CNOT sayısını azaltmak pratik bir hedeftir.

CZ, CY, CH ve simetri

Kontrollü-Z: CZ = |0⟩⟨0| ⊗ I + |1⟩⟨1| ⊗ Z. Etki: yalnız |11⟩ için −1 faz; diğer üç taban değişmez. CZ’nin önemli bir özelliği simetridir: iki kübit arasında “kontrol/hedef” ayrımı yoktur, ikisi de simetrik rol oynar. Bu yüzden devrelerde sıkça ölçüm öncesi faz işaretleme adımı olarak kullanılır.

Kontrollü-Y, kontrollü-Hadamard de aynı şablonu izler; daha az karşılaşılır fakat varyasyonel devrelerde, dolanıklı ansatzlarda görünür. Kontrollü-S, kontrollü-T ise QFT’nin yapı taşıdır:

CR_k = |0⟩⟨0| ⊗ I + |1⟩⟨1| ⊗ P(2π/2^k).

CR_2 = CS, CR_3 = CT denir; QFT’nin merdiveni tam olarak bu adımlardan örülür.

SWAP, iSWAP ve √SWAP

SWAP kapısı iki kübitin yerini değiştirir: SWAP |a, b⟩ = |b, a⟩. Cebirsel olarak:

SWAP = Σ_{i, j} |ij⟩⟨ji|.

SWAP dolanıklık üretmez; sadece etiketleri yeniden düzenler. Pratikte bağlanırlığı sınırlı donanımda komşu olmayan iki kübit arasında bir etkileşim kurmak için SWAP zinciri eklemek gerekebilir; bu derinliği artırır. iSWAP ve √SWAP ise süperiletken donanımların doğal etkileşim Hamiltoniyenlerinden türeyen kapılardır: √SWAP tam yarısında dolanıklık üretir ve CNOT sentezinde alternatif bir yapı taşı olarak kullanılır.

Toffoli (CCX) ve Fredkin (CSWAP)

Toffoli, iki kontrol bir hedef olan kontrollü-kontrollü-X’tir: ikisi de |1⟩ ise hedef çevrilir. Klasik mantık için tersinir evrensel bir kapıdır: AND, OR, NAND tablolarını ek bir ancilla ile gömerek üretebilir.

CCX |c₁, c₂, t⟩ = |c₁, c₂, t ⊕ (c₁ ∧ c₂)⟩.

Kuantum donanımında Toffoli genelde doğrudan native değildir; bilinen ayrışmalardan biri 6 CNOT + birkaç tek kübit kapısıyla yazılır. Tek bir Hadamard sandwiçi içinde tanımlanan Fredkin (CSWAP) ise “kontrole bağlı SWAP”tır:

CSWAP |c, a, b⟩ = |c, a, b⟩ eğer c = 0; CSWAP |c, a, b⟩ = |c, b, a⟩ eğer c = 1.

Swap testi, kuantum bellek erişimi ve bazı doğrulama protokollerinde merkezi rol oynar.

Çoklu kontrollü kapılar (MCX) ve ancilla

k kontrol kübitli bir MCX (Multi-Controlled X), tüm kontroller |1⟩ iken hedefi çevirir; Grover oracle’ında ve faz tahmininde sıkça karşılaşılır. Verim için k ≥ 3 olduğunda doğrudan ayrışma çok pahalıya gelir; standart yaklaşım ancilla kübitlerle ağaç ayrışımıdır: kontroller ikişerli AND ile ancillalarda birikir, en son tek bir kontrolle X çalıştırılır, sonra ancillalar simetrik olarak geri sıfırlanır. Ancilla sayısı arttıkça derinlik düşer; sayıyı düşürmek isteyen alternatifler (V-zinciri, Gidney inşası) ek devre karmaşıklığıyla gelir.

Parametreli iki kübit kapıları

QAOA ve donanım odaklı varyasyonel ansatzlarda parametreli iki-kübit ailesi yaygındır: XX(θ) = exp(−iθ X⊗X/2), YY(θ), ZZ(θ), XY(θ), CR_z(θ) gibi. Bu kapılar belirli bir etkileşim Hamiltoniyeni generatorundan üretilir; iyon-tuzaklı donanımda XX, süperiletken donanımda CZ-tarzı ve iSWAP-tarzı, fotonik sistemlerde XY tarzı doğal olur.

Kapılar tek tek tanımlandığında resim eksiktir; pratikteki ilerleme, iki devre ne zaman aynı üniteri üretir? sorusunu kısa cebirsel kurallarla yanıtlamaktan geçer. Bu bölüm, küçük bir özdeşlik kütüphanesi sunar; algoritma çözümlerinde (örneğin CNOT sayısını azaltmak, kapı sırasını yeniden düzenlemek, oracle’ı taban değiştirmek için) doğrudan kullanılır.

Pauli komütasyon ve antikomütasyon

Aynı eksende komütasyon ve farklı eksende antikomütasyon kapı düzenini belirler:

XX = YY = ZZ = I, XY = −YX = iZ, YZ = −ZY = iX, ZX = −XZ = iY.

Bu sebepten ardışık X R_z(θ) ile R_z(−θ) X aynı sonucu verir: X kapısı bir sonraki R_z önüne taşınınca açının işareti döner. Devreyi “sağa” veya “sola” doğru basitleştirirken bu kural sıkça kullanılır.

Hadamard sandviçleri: taban değişimi

Hadamard, X ↔ Z dönüşümünü temsil eder:

H X H = Z, H Z H = X, H Y H = −Y.

Pratik sonuç: X tabanında ölçüm yapmak istiyorsanız, kapıyı doğrudan eklemek yerine önce Hadamard uygulayıp Z tabanında ölçmek yeterlidir. Aynı fikir kontrollü kapılara da uzanır:

CZ = (I ⊗ H) · CNOT · (I ⊗ H).

Yani CZ, hedef tarafa Hadamard sandviçi sıkışmış CNOT olarak okunur — aynı şekilde herhangi bir kontrollü-U kapısı, üzerine U’nun köşegenleştirme üniterinin Hadamard türü sandviçiyle elde edilir.

Faz özdeşlikleri: S ile dönüşüm

S kapısı ekvator düzleminde π/2 dönüşüdür; yarattığı eşlenik dönüşümler:

S X S† = Y, S Y S† = −X, S Z S† = Z.

Bu, Y tabanında ölçüm yapma yolunun standart reçetesidir: S† uygula, sonra H uygula, ardından Z tabanında ölç. T için benzer ilişkiler vardır fakat T Clifford grubuna ait değildir, eşlenikleri Pauli uzayında kapalı kalmaz; bu da Clifford+T evrenselliğinin yapısal ipucudur.

Önemli iki-kübit yeniden yazımları

SWAP, üç CNOT ile ayrıştırılabilir — donanımda SWAP doğrudan native değilse standart sentez budur:

SWAP = CNOT_{a→b} · CNOT_{b→a} · CNOT_{a→b}.

Kontrollü-U sentezi için temel motif şudur: U = A X B X C ve ABC = I olacak şekilde tek kübitlik A, B, C seçilirse,

C(U) = (I ⊗ A) · CNOT · (I ⊗ B) · CNOT · (I ⊗ C) (küresel faza kadar).

Yani her tek kübit U için kontrollü-U, iki CNOT ve üç tek kübit kapısıyla yazılabilir. Bu sayede QFT’deki CR_k aileleri doğrudan ayrıştırılır. Kontrollü-U kapısının kontrol tarafı simetrik değildir; fakat CZ özel durumunda kontrol ile hedef yer değiştirebilir — bu, ölçüm önündeki bazı sadeleştirmeleri mümkün kılar.

Komütasyon: kapıyı ne zaman taşıyabiliriz?

İki kapı farklı tellerde paralel ise her zaman serbestçe sıra değiştirilebilir (tensör çarpımı): (U ⊗ I) (I ⊗ V) = (I ⊗ V) (U ⊗ I) = U ⊗ V. Aynı tel üzerinde ise sıralama önemlidir, fakat komütatör sıfır ise (yaygın örneği: iki ardışık R_z kapısı, R_z(α) R_z(β) = R_z(α+β)) birleştirilebilirler. Birleşme, devre derinliğini düşürmenin doğrudan yoludur; donanımda her CNOT katmanı hata bütçesine doğrudan ekler, bu yüzden derinlik optimizasyonu sentez adımının ana kazancıdır.

Devre eşdeğerliği ve test

İki devre tüm girdiler için aynı sonucu üretiyorsa üniter olarak özdeştir (küresel faza kadar). Bunu sınamanın iki yolu vardır: (1) küçük n için tam 2^n × 2^n matris karşılaştırması; (2) rastgele girdilerle Hilbert–Schmidt iç çarpımı veya kanonik formlara indirgeme (Clifford devrelerinde tableau, Pauli stabilizatör temsili). Daha karmaşık devreler için simgesel optimizasyon (ZX-calculus, KAK ayrışımı gibi) son yıllarda gelişen alandır.

Evrensel bir kapı kümesi, n kübit üzerindeki herhangi bir üniter operatöre istediğimiz hassasiyette yaklaşmaya yeter. Sayfanın bu bölümü, hangi küçük kümenin neyi sentezlediğini, yaklaşıklığın matematiksel sınırlarını ve gerçek donanımdaki native kapı listelerini bağdaştırır.

Pratik teorem: tek kübit + CNOT evrenseldir

Tüm tek kübit üniterleri ve CNOT, birlikte n kübit üzerindeki her üniteri kesin olarak temsil edebilir. Bu sonuç sayesinde donanım üreticileri tek bir iki-kübit kapısına ve esnek tek kübit kontrolüne odaklanır; geri kalan bütün kapılar transpilasyonla bu temele indirilir.

Clifford grubu ve {H, S, CNOT}

Hadamard, faz S ve CNOT birlikte Clifford grubunu üretir: Pauli operatörlerini Pauli’lere taşıyan kapılar grubu. Çok güçlü, ama tek başına evrensel değildir — Gottesman–Knill teoremi’ne göre yalnız Clifford kapılarından oluşan ve standart bazda ölçen bir devre, klasik bilgisayarda polinom zamanda simüle edilebilir. Bu sınırı aşmak için tek bir “klasik dışı” adım eklemek yeterlidir.

Clifford + T: gerçek dünya kanonu

{H, S, CNOT}’a T eklenince elde edilen {H, S, T, CNOT} (sık biçimde {H, T, CNOT} ile özetlenir) evrenseldir: herhangi bir üniteri verilen hassasiyette yaklaşıklayabilir. Hata düzeltmeli kuantum hesabında T, magic state tüketimi ile uygulanır ve kaynak bütçesinin en pahalı parçasıdır; T sayısı (T-count) ve T-derinliği, kaynak hesabının ölçütüdür.

Klasik mantığı tersinir kuran küme: {Toffoli, H}

Toffoli tek başına klasik tersinir mantığı evrensel olarak kurar; H eklenince kuantum üzerinde de evrensel olur. Bu küme klasik mantığın doğrudan kuantum analogu olarak öğretici bir kanon sunar; ancak donanımda Toffoli üç-gövdeli olduğu için pratikte CNOT + tek kübit kapılarına ayrıştırılır.

ZYZ ayrışımı: her tek kübit üniteri için

Tek kübit kanonu doğrudan kullanılabilir bir formdadır:

U = e^{iα} R_z(β) R_y(γ) R_z(δ).

Açıklar (α, β, γ, δ) U’nun matris girdilerinden kapalı formda okunur. ZYZ, bilinçli olarak R_y’yi ortaya alır çünkü tek bir Bloch düzleminde sürekli açı verir; alternatif olarak XYX, ZXZ gibi formlar da kullanılır. Qiskit’in U(θ, φ, λ) ya da U3 kapısı tam olarak ZYZ’nin ambalajlanmış halidir.

İki kübit sentezi: KAK ayrışımı

Her iki-kübit üniteri, ortalamada en fazla 3 CNOT ve tek-kübit kapı sandvicleriyle yazılabilir; bu KAK ayrışımı sonucudur. Eldeki kapının yapısına göre 0, 1 veya 2 CNOT yeterli olabilir; örneğin tensör çarpımı türü kapılar 0 CNOT, Givens dönüşümü tipi kapılar 1 CNOT ile sentez edilir. Bu, transpilasyonun iki-kübit derinliğini optimize ederken kullandığı kanonik sınırdır.

Solovay–Kitaev: yaklaşıklığın maliyeti

SU(2) içinde yoğun bir kapı kümesi seçilirse (örneğin {H, T}), herhangi bir tek kübit üniteri ε hassasiyetinde O(log^c (1/ε)) kapı uzunluğunda dizi ile yaklaşıklamak mümkündür (c ≈ 3.97 klasik kanıt; daha modern iyileştirmeler logaritmik üs cinsinden kazançlar verir). Pratik sonuç: yüksek hassasiyete erişmek polinom değil polilogaritmik maliyetle olur; yine de algoritmaların kapı sayısını sentez aşamasında kontrol etmek gerekir.

Donanım: native kapı setleri ve transpilasyon

Her donanım üreticisinin doğrudan fiziksel olarak gerçekleştirdiği bir kapı listesi vardır; tipik örnekler:

IBM (süperiletken): CX, SX, X, R_z(φ), I — kullanıcı kapıları bu beş kapıya transpile edilir. Google Sycamore: √iSWAP ve PhasedXZ ailesi. IonQ / Honeywell (iyon tuzakları): XX(θ) etkileşimi + tek kübit rotasyonları; bağlanırlık genelde tam. Rigetti: CZ ve parametreli tek kübit kapıları.

Transpilasyon üç işi birlikte yapar: (1) kullanıcı kapısını native kapılara ayrıştırır; (2) kübit haritalama ile mantıksal kübitleri fiziksel kübitlere atar; (3) donanımın bağlanırlık grafiğine göre SWAP zincirleri ekler. Sonuçta aynı algoritmanın farklı donanımdaki devresi farklı görünür; üniter olarak eşdeğer, kapı sayısı ve hata bütçesi açısından çok farklıdır.

Buraya kadar tanımlanan kapı atlasının asıl değeri, küçük adımların büyük algoritmaları nasıl ürettiğini görmektir. Bu son bölüm, daha sonraki algoritma sayfalarına “hangi kapılar, ne sırayla?” diye bakarken kullanılabilecek hızlı anatomiyi toplar; tam çalışan kod ve devre çizimi için ilgili algoritma sayfalarına bakılabilir.

Bell çifti: H + CNOT

En küçük dolanık devre:

|β_{00}⟩ = CNOT · (H ⊗ I) |00⟩ = (|00⟩ + |11⟩)/√2.

Hadamard ilk kübiti süperpozisyona alır, CNOT bilgiyi ikinci kübite kilitler. Aynı iki-kapılık şablon, başlangıç durumunu |01⟩, |10⟩, |11⟩ seçerek dört Bell durumunu üretir; bu, Bell test sayfasında ve süperdense kodlamada doğrudan kullanılır.

Teleportasyon: kapı + ölçüm + klasik koşullu kapı

Standart teleportasyon protokolünün omurgası şudur: paylaşılan bir Bell çifti, bir CNOT + H ile gönderici tarafta ölçüm tabanını değiştirir; iki klasik biti alıcıya iletir; alıcı, klasik sonuca göre kübitine klasik kontrollü Pauli düzeltmesi uygular:

|ψ⟩_C ↦ X^{m_2} Z^{m_1} |ψ⟩_C (m_1, m_2 ∈ {0,1}).

Burada görülen klasik kontrollü kapı deseni, bütün ölçüm tabanlı düzeltme protokollerinin ortak yapı taşıdır; mid-circuit measurement destekleyen donanımlarda doğrudan uygulanır. Devrenin tek üniter olmayan parçası ortadaki ölçümdür; geri kalan adımların hepsi bu sayfada tanımlanan kapılarla kurulur.

QFT: Hadamard + kontrollü-faz merdiveni

n-kübit Kuantum Fourier Dönüşümü, ardışık iki örüntünün döşemesidir: her aşamada bir Hadamard ve onun ardından CR_k faz kapılarından bir merdiven; sonunda kübit sırasını ters çeviren SWAP’ler:

QFT_n = (SWAPs) · ∏_{j} (H_j · ∏_{k>j} CR_{k-j+1, j→k}).

Her aşamada CR_k = |0⟩⟨0|⊗I + |1⟩⟨1|⊗P(2π/2^k) uygulanır; k büyüdükçe 2π/2^k açıları küçülür, donanımda numerik hassasiyet sınırlayıcı olur (yaklaşık QFT, yeterince küçük k’dan sonra CR_k’ları atar). Faz tahmini, Shor algoritması ve kuantum sayım, hepsi bu örüntüyü tekrar kullanır.

Grover: H^{⊗n}, oracle ve diffüzör

Klasik biçimde Grover iterasyonu üç bloktan oluşur: (1) tüm tellere Hadamard, H^{⊗n}|0^n⟩ = (1/√{2^n}) Σ_x |x⟩; (2) oracle U_f, çözüm durumlarına −1 faz basar; (3) ortalama etrafında yansıtma (diffüzör):

D = H^{⊗n} (2|0^n⟩⟨0^n| − I) H^{⊗n}.

2|0^n⟩⟨0^n| − I kısmı tipik olarak X^{⊗n} · MCZ · X^{⊗n} şeklinde uygulanır; MCZ ise çok-kontrollü Z (veya eşdeğer olarak Hadamard sandwich ile MCX). Burada Hadamard + faz işaretleme + Hadamard yapısı, faz tabanından genlik tabanına dönüşün özüdür — sayfanın 4. bölümünde verilen Hadamard sandviçi özdeşliğinin algoritmik tezahürü.

Varyasyonel ansatzlar: parametre + dolanıklık katmanı

VQE, QAOA ve diğer parametreli devrelerde tipik yapı şudur: dönüşüm katmanı (genelde R_y(θ_i) ve R_z(φ_i)) + dolanıklık katmanı (sıra sıra CNOT veya CZ) tekrarlanır. Parametrelerin sayısı d · n mertebesinde tutulur (d derinlik); türevler parameter-shift kuralıyla aynı kapı kütüphanesinden hesaplanır, yeni bir analitik araç gerekmez. Bu sayfanın kapı tanımları, sürekli parametre görüntüsünü doğrudan optimizasyonun girdisi olarak verir.

Toparlama: kapı → devre → algoritma

Algoritma sayfalarına geçerken yardımcı olabilecek bir okuma rehberi: önce amacı bul (ne tür bir genlik veya faz manipülasyonu hedefleniyor?), sonra üniterleri tanı (Hadamard, kontrollü faz, oracle, diffüzör, ölçüm), en sonda derinlik ve CNOT sayısını not et (donanımda çalıştırılırsa gürültü bütçesini bu belirler). Aynı algoritma farklı kütüphanelerde farklı kapı isimleriyle görünür; matematiksel iskelet bu sayfanın atlas ve cebir parçalarıyla aynıdır.

Geometrik resim için: Qubit ve Bloch küresi sayfasına; her algoritmanın somut Qiskit/Cirq/PennyLane uygulaması için ana sayfadaki algoritma haritasına dönebilirsiniz.