Kuantum yaklaşık optimizasyon — maliyet katmanı · karıştırıcı · beklenen değer

QAOA, kombinatorik bir optimizasyon veya kesim problemine karşılık gelen bir maliyet Hamiltonyenini H_C — çoğu zaman graf kenarlarından gelen İsing ZZ terimleri ve gerekiyorsa alan/manyetik Z terimlerinin Pauli cümlesi — kuantum tarafında küçük ünitelerin bileşimi olarak uygular ve klasik bir döngüde sürekli parametreleri ayarlar. Önce hazırlık (çoğu sunumda ürün durumundan eş süperpozisyona giden H kapıları), ardından bir katmanda sırasıyla maliyet evrimine uygun ünite e^−iγH_C ile örtüşen iki kübit etkileşimleri ve karıştırıcı evrime uygun ünite e^−iβH_M (tipik olarak tek kübit X ekseninde rotasyonlar) gelir. Bu iki blok birlikte tek bir QAOA “katmanı”dır; katman sayısı p olunca aynı yapı p kez üst üste konur ve parametre vektörleri γ = (γ₁, …, γ_p), β = (β₁, …, β_p) klasik optimizatör tarafından güncellenir. Kuantum çekirdekten okunan skaler neredeyse daima seçilen Pauli gözlemlenebilirlerinin beklenen değerleri veya bunların H_C içindeki katsayılarla toplanmasıdır; böylece “Hamiltonyen enerjisi” veya problem özelinde tanımlanan bir uygunluk tek bir sayıya iner.

Bu dosya PennyLane izinde yazılmıştır: maliyet üyesini doğrudan qml.IsingZZ gibi kapılarla kodlamak, beklenen değeri qml.expval(...) ile okumak ve parametreleri pennylane.numpy tensörleri olarak tutup gerektiğinde otomatik türev zincirine bağlamak mümkündür. Yani anlatım ekseni “QuantumCircuit + transpile + Estimator” değil; QNode · soyut Pauli kapıları · diferansiyellenebilir maliyet düzenidir. Qiskit tarafında derinlemesine problem kodlaması, Aer/ donanım örnekleri ve kütüphane API akışı için QAOA · Qiskit sayfası kullanılır — buradaki metin onun yerine geçmez; aynı matematiksel çekirdeği farklı çatı altında göstermek içindir.

Genel bir varyasyonel devre şablonu (Ansatz tasarımı, tek maliyet gözlemi) için VQC · PennyLane dosyasına bakın. Orada maliyet–karıştırıcı ayrımı sabit değildir; bu sayfada ise blokların rolleri QAOA düzenine göre adlandırılır.

p = 1, maliyet–karıştırıcı çiftinin yalnızca bir kez uygulanmasıdır; parametre sayısı bu minimal örnekte tek γ ve tek β ile sınırlı kalır. İki kübit ve graf üzerinde yalnızca tek kenar (0, 1) seçildiğinde, İsing tarafında o kenara düşen tek Pauli terimi Z₀Z₁ olur; çok kenarlı graflerde her kenar için ayrı iki-kübit kapı (uygun kablolama ile) sıraya eklenir — burada şema tek blokta kalması için bilerek sade tutulur.

Hazırlık olarak her iki kübite H uygulamak, yaygın sunumlarda ürün durumundan eş ağırlıklı süperpozisyona geçişi verir; üretimde veya farklı QAOA varyantlarında başlangıç başka bir üniteyle de seçilebilir; bu sayfadaki kod, okunabilirlik için klasik “Her kübitte H” düzenini izler.

PennyLane’de iki kübit İsing etkileşimi qml.IsingZZ(φ, wires=[0, 1]) ile yazılır; bu kapı exp(−i φ/2 · Z₀Z₁) üssünü temsil eder. Bu yüzden kütüphanede φ = 2γ seçmek, makalelerde sık geçen exp(−iγ Z₀Z₁) maliyet üssü ile aynı fiziksel aşamayı verir — kısaca: önce elde tutmak istediğiniz γ’yi belirleyin, kapı argümanına 2γ koyun. Karıştırıcı tarafta PennyLane’de RX(θ) tek kübitte exp(−i θ/2 · X) üssüdür; standart QAOA karıştırıcısı e^−iβX₀ e^−iβX₁ biçiminde yerel ünitelerin çarpımı olduğundan, her kübitte RX(2β) kullanmak aynı matematiksel karıştırıcıyı (sıra bu örnekte değişmez) kodlar.

Örnek okuma olarak ⟨Z₀Z₁⟩ seçilmesinin nedeni doğrudanlık: beklenen değer, o kenarın maliyet terimine — uygun işaret ve katsayılarla — klasik tarafta eklenecek sayıyı besler. Tam bir İsing veya Max-Cut kodlamasındaki toplam maliyet ve işaret kuralları QAOA · Qiskit anlatımında ayrıntılanır; burada yalnızca tek terimin PennyLane’de nasıl ölçüldüğü gösterilir.

Parametreler γ = 0.35, β = 0.22 yalnızca sabit bir sayısal örnektir; aynı devrede tek ileri geçişte yaklaşık ⟨Z₀Z₁⟩ ≈ 0.497 elde edilir (default.qubit üzerinde analitik beklenen değer). Optimizasyon döngüsü burada çalıştırılmaz; amaç, γ ve β değiştikçe bu beklenen değerin nasıl hareket edeceğini klasik bir algoritmanın maliyet yüzeyinde tarayabileceğini düşünmek için şeffaf bir QNode bırakmaktır.

QAOA tarafında PennyLane’i “soyut bir makine” olarak düşünmek işi kolaylaştırır: seçilen cihaz kuantum fonksiyonunun hangi soyutta çalışacağını ve ölçüm modelini belirler; qml.device("default.qubit", wires=2) bu dosyada iki kübitlik tam durumu sayısal olarak izleyen bir simülatör seçer — graf tek kenarlı olduğu için kablo sayısı iki ile yeterlidir. Üzerine yazdığımız fonksiyon qaoa_p1(γ, β) için kullanılan ana soyutlama @qml.qnode(dev) dekoratörüdür: böylece blok sırasıyla uygulanan kapılar ile fonksiyonun Python çıktısı arasında tek bir tanım kalır; altta beklenen Pauli değerleri expval ile hesaplanır ve klasik tarafta tek bir skaler maliyet olarak kullanılabilir.

Bu örnekte dönüş qml.expval(qml.PauliZ(0) @ qml.PauliZ(1)) olduğundan skaler doğrudan ⟨Z₀Z₁⟩ ile ilişkilidir — genel VQC sayfasındaki tek kübit ⟨Z₀⟩ okumasından farklı olarak, maliyet gözlemi burada iki kübit korelasyonunu ölçer ve §2’deki tek kenarlı ZZ terimiyle aynı çizgidedir. Tam bir optimizasyon koşusunda skaler genelde çok terimin ağırlıklı toplamıdır; burada tek terim şeffaflığı korunur.

Parametreleri pennylane.numpy (import pennylane.numpy as pnp) ile tensör olarak tutmak, γ ve β üzerinden otomatik türev çizmeyi mümkün kılar — yani QAOA’nın klasik döngüsü seçilirse aynı QNode’dan gelen skalerin bu parametrelere göre gradyanı hesaplanabilir. Bu sayfa optimizer çağrısı göstermez; amaç, maliyet yüzeyinin “hangi soyutlama üzerinden tanımlandığını” net bırakmaktır. VQC · PennyLane dosyası ise genel θ vektörü ve tek Pauli okuması ekseninde genişler; burada odak QAOA katmanının parametreleri ve iki kübit gözlemidir.

qml.draw(qaoa_p1)(γ, β) tam bir çalışma zamanı grafiği değil, metin tabanlı bir devre özeti üretir; aşağıdaki kod ve SVG bölümlerinde aynı kapı sırasının görsel olarak izlenmesi için köprü görevi görür. İstenirse qml.specs veya benzeri çağrılarla cihaz ve kaynak bilgisi de okunabilir — bu minimal örnekte gerek yoktur.

default.qubit üzerinde tipik kurulumda beklenen değerler analitik üretilir; cihaz yapılandırmasına sonlu shots verilirse expval örneklenmiş ortalamaya yaklaşır ve hem skaler hem de türev tahmininin gürültüsü değişir. Gerçek donanım veya gürültülü simülatörde bağlantı haritası ve ek hata modeli girer — burada okuma ve şema doğrulaması için ideal ortam yeterlidir.

İki kübit, p = 1: Hadamard hazırlığı, IsingZZ(2γ), ardından her kübitte RX(2β); çıkış ⟨Z₀Z₁⟩.

import pennylane as qml
from pennylane import numpy as pnp

dev = qml.device("default.qubit", wires=2)

@qml.qnode(dev)
def qaoa_p1(gamma, beta):
    for w in range(2):
        qml.Hadamard(wires=w)
    qml.IsingZZ(2 * gamma, wires=[0, 1])
    qml.RX(2 * beta, wires=0)
    qml.RX(2 * beta, wires=1)
    return qml.expval(qml.PauliZ(0) @ qml.PauliZ(1))

gamma = pnp.array(0.35)
beta = pnp.array(0.22)
print(qml.draw(qaoa_p1)(gamma, beta))
print("⟨Z₀Z₁⟩ ≈", float(qaoa_p1(gamma, beta)))

İskeletin rolü

Bu blok, QAOA’nın bir katmanını PennyLane primitifleriyle yazmayı gösterir; şema ve analiz 6 · Aynı devre (iki temsil) ve 7 · Demo ve doğrulama ile birlikte okunmalıdır.

Hadamard döngüsü

İki kübite paralel H, graf bağımsız eş süperpozisyon hazırlar; farklı başlangıç politikaları üretimde kullanılabilir.

IsingZZ(2 * gamma, wires=[0, 1])

Tek kenarlı maliyet üyesinin üssü; argümanın 2γ seçilmesi, yaygın γ parametrizasyonuyla fazın uyumunu kolaylaştırır.

RX(2 * beta) her kübitte

Standart QAOA karıştırıcısının tek kübit X yönündeki uzayı örneklemesi; parametre β ile ölçeklenir.

expval(PauliZ(0) @ PauliZ(1))

İki kübit Pauli gözleminin beklenen değeri; tam İsing maliyeti birden çok kenar ve tek kübit terimi için terimlerin toplamına genişler.

qml.draw(qaoa_p1)(gamma, beta)

PennyLane sürümüne göre etiket biçimi değişebilir; önemli olan H → IsingZZ → RX sırasının korunmasıdır.

Solda print(qml.draw(qaoa_p1)(gamma, beta)) çıktısı; sağda aynı mantıksal sıranın şeması. Örnek parametreler γ = 0.35, β = 0.22 → çizimde IsingZZ(0.70), RX(0.44).

0: ──H─╭IsingZZ(0.70)──RX(0.44)─┤ ╭<Z@Z>
1: ──H─╰IsingZZ(0.70)──RX(0.44)─┤ ╰<Z@Z>

Aşağıdaki çerçeve, 6 · Aynı devre (iki temsil) sağ panelindeki SVG ile aynı çizimdir (gradient kimliği plqaoa-wide-g ile çakışma önlenir).

Aşağıdaki okuma reçetesi bu sayfadaki PennyLane QAOA p = 1 örneğine özeldir: qaoa_p1(gamma, beta) içinde sırasıyla Hadamard döngüsü, IsingZZ(2 * gamma, wires=[0, 1]), her kübitte RX(2 * beta) ve dönüşte iki kübit Pauli gözleminin beklenen değeri yer alır — genel VQC Ansatz’ı veya QSVM özellik haritası şemasıyla karıştırılmamalıdır.

Şemayı adım adım oku

1. 1

   Soldaki mor H kutuları başlangıç süperpozisyonunu kurar; kodda for w in range(2): qml.Hadamard(wires=w) ile üst üste bindirilir. Terminal satırlarında her kablo kendi H adımını gösterir.

2. 2

   Ortadaki turuncu IsingZZ bloğu iki kübitlik maliyet üssüdür; örnekte IsingZZ(0.70), γ = 0.35 için 2γ = 0.70 ile uyumludur. Dikey çizgi iki hattın aynı iki-kübit kapıdan geçtiğini gösterir.

3. 3

   Yeşil RX kutuları karıştırıcı katmandır; çizimde RX(0.44), β = 0.22 için 2β = 0.44 ile örtüşür. Sıra: maliyetten sonra her kübitte yerel karıştırma.

4. 4

   Sağdaki kesik çerçeveli blok ⟨Z₀Z₁⟩ / expval okumasını temsil eder; fiziksel kapı eklenmez. Örnek parametrelerde sayısal değer yaklaşık 0.497 çıkar — tek turda sabit bir noktayı gösterir, optimizasyon döngüsü değildir.

Geniş çerçeve ve ikili gösterim

Dört adım 6 · Aynı devre (iki temsil) kompakt SVG ile aynı mantıksal sırayı taşır; bu bölüm yalnızca sunumu büyütür. Kimlikler plqaoa-wide-g / plqaoa-dual-g sayfa içi SVG çakışmasını önler.

Gerçek bir QAOA deneyinde aynı QNode maliyet yüzeyinde tekrar örneklenir: γ, β vektörleri p katman için uzar; klasik optimizatör bu parametreleri günceller. Graf daha çok kenar içerdiğinde her kenar için ek IsingZZ (veya topolojiye uygun iki kübit kapıları) sıraya eklenir; tek kübit Z terimleri için faz kapıları kullanılır. PennyLane’de qml.ApproxTimeEvolution veya Pauli cümleleri ile daha genel maliyet üsleri de kurulabilir — burada tek terimle şema sade tutulmuştur.

Simülatörde pürüzsüz beklenen değer eğrisi, sonlu shots veya donanımda gürültülü örneklemeye geçildiğinde dalgalanır; üretimde hata azaltma ve graf yerleşimine uyarlama eklenir.